Две стороны остроугольного треугольника равны 13см и 15см, а высота, проведенная к третьей стороне, — 12см Найти радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника (желательно с объяснением)

Две стороны остроугольного треугольника равны 13см и 15см, а высота, проведенная к третьей стороне, — 12см Найти радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника (желательно с объяснением)

  • Обяснение такое. Высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. В одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (Пифагорова тройка 5,12,13). В другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). Можно, конечно, тупо сосчитать по теореме Пифагора, но результат будет тот же :))).

    Итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. Причем мы знаем высоту к этой стороне. Поэтому площадь треугольника

    S = (1/2)*14*12 = 84.

    Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42. S = P*r/2, где r — радиус вписанной окружности.

    r = 2*84/42 = 4;

    Радиус описанной окружности находится так.

    Пусть угол между сторонами 14 и 15 — это А, тогда

    sin(A) = 12/15, и S = (1/2)*14*15*sin(A);

    Но по теореме синусов 2*R*sin(A) = 13; Отсюда получаем

    R = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125;

  • Радиусы этих окружностей найдем через площадь треугольника.

    радиус вписанной окружности
    r=S :p , где р=полупериметр треугольника

    радиус описанной окружности
    R=abc:4S


    Чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны знать его третью сторону.

    Найдем эту сторону по теореме Пифагора через высоту.

    Одна часть основания треугольника равна
    12=13-х
    х=169-144
    х=25
    х=5

    Вторая
    12=15-х
    х=225 -144
    х=81
    х=9
    Длина основания треугольника
    9+5=14

    Теперь найдем площадь треугольника по классической формуле:
    S=12*14:2=84 см

    Полумериметр треугольника
    (13+14+15):2=42:2=21


    Найдем радиус Rописанной окружности

    R=13*14*15:336=2730:336=8,125 см

    Радиус rвписанной окружности
    r=S :p
    r=84:21=4 см

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *